Historien bak femtegradslikningens uløselighet

Abels bevis
Av Peter Pesic
214 sider
Athene forlag

I skolematematikken lærer elevene å løse likninger av andre grad – slike med ”x i andre potens”. I min tid, da det het gymnas, var også løsning av tredjegradslikninger pensum. Det er vel knapt den matematikklærer som ikke forteller at også fjerdegradslikninger kan løses, om enn med en del møye.

I denne sammenheng formidles også ofte historien om at det var Niels Henrik Abel som kom med det berømte beviset for at likninger av femte grad generelt ikke kan løses. Å løse slike likninger vi omtaler her, kalles ofte å finne røttene i likningene.

Professor Peter Pesics bok ”Abels bevis. Å løse det uløselige” er et pedagogisk mesterstykke. Han arbeider ved St. John’s College i Santa Fe i USA. Han forteller for den allment interesserte leser om hvordan menneskene opp gjennom tidene har forholdt seg til matematiske problemer av den typen som vi i dag kan kategorisere som likninger.

Men samtidig har han klart skilt ut den harde matematikken slik at de med innsikt her kan følge den mer matematikkfaglige veien fram til det berømte beviset til Abel. Disse ”boksene” kan man derfor godt hoppe over for til slutt likevel å annamme storheten i Abels prestasjon.

Allerede to tusen år f.Kr. hadde babylonerne verbale prosedyrer å løse problemer som vi i dag kaller likninger med en ukjent. Og gjennom etterlatt kileskrift går det fram at de også behersket løsning av andregradslikninger.
Begrepet tall i grekernes devise ”Alt er tall” dreide seg om heltall. Det vi kaller brøker ble ikke oppfattet som deler av en hel, men som forhold mellom hele tall.

Forholdet mellom en side og diagonalen i et kvadrat kunne ikke uttrykkes ved hjelp av hele tall, noe Aristoteles beviste. Kanskje noen som er kommet til skjells år og alder, husker Tambs Lyches lærebok fra realskolen, der dette beviset for mange representerte en faglig vegg. I dag bruker vi kvadratrot for å beskrive dette forholdet, som er 1 : √2.

Det vokste omkring år 1500 e.Kr. fram forståelse for de tall som bare nøyaktig kan beskrives som røtter. I algebra fjernes alle spor av hensikt, derfor er algebra en måte å unngå språkets babelske forvirring på. Algebra betegnes ofte bokstavregning. Pesic beskriver hvordan man gjennom dypere innsikt i tallenes egenskaper – algebra – også fikk teknikker til å løse tredje- og fjerdegradslikninger.

Også komplekse (imaginære) tall ble tatt i bruk – slike tall som tillater at man tar kvadratrot av negative tall. Har du en litt større kalkulator, finner du at √-1 = i, og det går fint an å regne med i-er sammen med de vanlige tallene.

Man trodde da at alle likninger kunne løses, og matematikeren Viète løste til og med en helt bestemt førtifemtegradslikning!   Men hva med en generell femtegradslikning? Noen uttrykte at den ikke kunne løses ved hjelp av rotuttrykk, blant annet René Descartes og Carl Friedrich Gauss. Leonard Euler greide å forenkle femtegradslikninger slik at de inneholdt bare et femtegrads- og et førstegradsledd samt et konstantledd, men til hans overraskelse, den enkle formen til tross, syntes den å være umulig å løse.

Så endelig i 1824 greide Abel, 22 år gammel, å bevise det som mange hadde strevd så mye med. En italiener ved navn Paolo Ruffini hadde en del år før vært nesten ved målet. Abel kjente imidlertid ikke til Ruffinis arbeider. Det egner seg ikke i denne artikkelen å gå inn på hvordan Abel gikk en omvei i sitt bevis, men han gikk også litt på de stier Ruffini få år tidligere hadde tråkket opp.

Abels bevis, med kommentarer, er tatt med i boka. Ombytting av røttene er et viktig trinn i beviset. Få år senere greide en fransk matematiker, Évariste Galois, å rendyrke matematikken omkring ombyttinger, det som matematikerne kaller permutasjoner. Han greide også å lage en mer generell teori – gruppeteori – der slike ombyttinger er én anvendelse av teorien. Dette ga en dypere forståelse av det resultatet Abel var kommet fram til. Galois døde for øvrig i en duell, bare 21 år gammel.

Pescis bok er en flott tributt til Abel, som har gitt navn til Abelprisen – også kalt matematikkens ”nobelpris”. Oversetteren Øystein Randers-Pehrson har gjort en gjort en god jobb med gi boka en norsk språkdrakt.