Matematikkopplæringen: tenke - tegne - regne

Det er lite tilfredsstillende for Norge som satser mer på skole enn alle andre land å bli rangert midt i rekken blant land som vi sammenligner oss med, på prestasjonsmålingene i et prestisjefag som matematikk. Mye kan sies om slike målinger; om elevene i målgruppen, innholdet og utforming av testene, kunnskap som måles, kunnskap som ikke måles.
 
Men det kanskje mest interessante ved slike internasjonale målinger av prestasjoner i skolefag, er at det blir rettet oppmerksomhet mot faget på flere plan. En slik oppmerksomhet inspirerer ofte til en ekstra satsning på faget som etter hvert kan resultere i en bedre opplæring for flere elever. Men ny satsning krever ny tenkning og ny handling.
 
Hvilken form for matematikkompetanse har et moderne samfunn som er i rask utvikling bruk for? Hvordan skal matematikkunnskapen bygges opp for å gjøre dagens barn rustet til å møte matematiske utfordringer i dagliglivet og i arbeidslivet i fremtiden?
 
Vi har i noen år, både før og etter L97 vært inne i en fase som kan kalles "dagliglivsfasen". Oppgaveløsninger har i store
trekk vært knyttet til elevenes erfaringer fra dagliglivet. Dette er sentralt både som motivasjonsfaktor og for å bygge opp forståelse.
 
Men har skolen vært god nok til å følge opp oppgaveløsninger med trening i innsikt og ferdighet på de regneprosedyrer og matematiske strategier som brukes for å løses matematikkoppgavene? Får elevene trening i å forstå strukturer og sammenhenger mellom løsningene på praktiske oppgaver og matematiske prosedyrer? Får elevene tilstrekkelig strukturert trening i å forstå og å automatisere tabeller og regneregler?
 
Tenke
Det er ikke mulig å få opplæring i hver og en av de mange ulike matematiske oppgaver som elevene vil møte i arbeid og daglig liv i fremtiden. Et viktig mål må derfor være å lære elevene å tenke matematikk på en fleksibel måte slik at de blir i stand til å kombinere de ulike kunnskapskomponenter til et mangfold av kunnskap som kan anvendes i de mange matematiske utfordringer som elevene vil møte i sitt voksne liv.
 
I tillegg til å bygge på elevenes erfaringer må de lære å tenke matematikk ved å reflektere og å resonnere over innholdet i matematiske problemer. De må få utfordringer til å utforske matematiske regler ved å danne indre forestillinger på grunnlag av kjente begreper og til å utnytte tankeprosedyrer i arbeidsprosessen. Først da vil elevene være i stand til å anvende kunnskapen i ulike matematiske oppgaver og å videreutvikle kunnskapen på egen hånd. (Glasersfeld 1996, Steffe m.fl. 1996).
 
Barn lærer ikke matematikk på samme måte som de lærer å gå på ski. Det er ikke tilstrekkelig med bare øvelse. Øvelse må kombineres med refleksjon og resonnering for å lære hvordan prinsippene og regneprosedyrene fungerer.
 
Hvordan kan undervisningsopplegg med vekt på tenkning og refleksjon implementeres i praksis? Vår tenkeevne er utviklet slik at vi er i stand til å reflektere over bare det som gir mening, og elevene er derfor i stand til å tenke matematikk utelukkende med begreper som er meningsbærende for dem. Når elevene får se matematiske begrep og prinsipper i en konkret form gir dette en stimulans til tenkning og hjelp til å knytte mening og innsikt til matematikken.
 
Dette forklares med at konkrete hjelpemidler omgjør oppgaven til en virkelighetsnær form i tillegg til at de stimulerer til manipulering, utforskning og refleksjon. Mange elever med matematikkvansker har problemer med å forstå matematikken når den presenteres som en abstrakt kunnskap.
 
Det er en god hjelp å få se et abstrakt fenomen visualisert ved bruk av fysiske representasjoner eller bilder, som gir bedre forutsetninger for å tenke og reflektere enn om matematikken presenteres utelukkende ved hjelp av abstrakte symboler. (Huges 1997, Nunes and Bryant 1997, Wood 1995).
En elev i ungdomsskolen som slet tungt med matematikken fortalte meg at hun skjønte faget best når hun fikk drive med "se-matematikk". For henne var det av avgjørende betydning å få visuell støtte i matematikkopplæringen i form av konkreter og bilder.
 
Tegne
Det er i hovedtrekk en tendens til at elevene forlater den konkrete og visuelle matematikken tidlig i barneskolen, mens mange elever har behov for slik opplæring i hele grunnskolen. I ungdomsskolen er matematikken preget av en mengde abstrakte symboler som mange elever ikke har knyttet mening og innsikt til.
 
Opplæringen blir fylt av ord uten mening som det blir svært vanskelig å reflektere over. Visuell støtte ved bruk av bilder og tegninger gir hjelp til resonnering og til å utvikle innsikt. Elevene får god hjelp til å tenke og å reflektere over matematikkmomenter ved å tegne innholdet i oppgavene. Selve tegneprosessen stimulerer til kreativitet og tankemessig engasjement.
 
Når elevene får se tegninger og bilder, får de hjelp til å danne indre forestillinger om fenomenet og får hjelp til å forestille seg matematiske prinsipper og prosedyrer som mentale modeller. Allerede i førskolealder kan barn tegne antallet i et tallbegrep. Tegning av bilder gir en visuell opplevelse av innholdet i matematikkoppgaven og bidrar til å øke forståelsen av problemet som skal løses.
 
Dersom elevene selv får tegne innholdet i matematikkoppgavene ut fra egne forestillinger, vil dette frigjøre tankene fra det konkrete materiellet og samtidig skape grunnlag for innsikt og resonnering. Tegninger og skisser er en hjelp til å framstille innholdet i matematikkoppgavene og kan bidra til forståelse på et nivå som nærmer seg symbolnivå.
 
Gjennom å tegne enkle strekbilder/skisser og å skape sitt eget tegnmønster som knyttes til de formelle matematiske symbolene, får elevene et hjelpemiddel som kan anvendes ved løsning av ulike typer matematikkoppgaver. (Hughes 1997, Ahlberg 1999, Johnsen Høines 2001).
Engangsbøker med tilnærmet likelydende oppgaver i lange rekker oppfordrer ikke til tenkning og resonnering. Elevene har større utbytte av å få bøker som de kan både tegne og regne i. De trenger bøker og andre læremidler som legger til rette for varierte aktiviteter og som stimulerer til mentalt engasjement.
 
En god vane for læreren er å lage skisser på tavla i tilknytning til presentasjon av matematikkmomentene og motivere elevene til å tegne selv. Dette gir elevene inspirasjon og ideer til å lage egne personlige tegninger.
 
Regne
Elevene trenger å innøve effektive regnestrategier for å bli gode regnere. Sikkerhet i grunnleggende kunnskap oppnås gjennom satsning på prinsippet om "ja, takk, begge deler". Elevene må både få utvikle forståelse som grunnlag for refleksjon og tenkning, og i tillegg innøve en rekke regneferdigheter for å kunne mestre den tekniske utregningen på en effektiv måte.
 
Mange barn sliter tungt i matematikk fordi de ikke har innøvd visse grunnleggende regneferdigheter som addisjons-, subtraksjons - og multiplikasjonstabeller. (Kronikk av Robert Lillestølen i Utdanning nr.6. 2002.)
 
Automatisering av kunnskaper og ferdigheter er en sentral faktor i læringsprosessen, fordi kunnskaper som utføres automatisk frigir ressurser for andre oppgaver, og flere oppgaver kan dermed utføres samtidig. I arbeid med matematikkoppgaver er det oftest en forutsetning at man er i stand til å fastholde en regneprosedyre samtidig som man foretar enkle kalkuleringer i hodet.
 
Mange problemløsningsoppgaver krever at elevene kan konsentrere seg om regneprosedyrene samtidig som de foretar hoderegning. Dersom elevene ikke mestrer enkel hoderegning, vil elevenes tankerekke under oppgaveløsningen bli avbrutt av at kalkuleringer som må utføres underveis foretas som separate operasjoner. Dette medfører avbrudd i tankerekkene og i ressursmobiliseringen og tar oppmerksomhet fra oppgaveløsningen og forvansker løsningen av oppgavene.
 
Dersom elevene har automatisert en del tabellkunnskap blir det frigjort oppmerksomhet som kan benyttes til konsentrasjon om oppgaveløsningen og innlæring av ny kunnskap. (Anderson 1995, Baddeley 1999, Ellis og Hunt 1993).
 
Vektlegging på bl.a. hoderegning i matematikktimene gir trening i regneferdighet og automatisering, og IKT med gode læreprogrammer gir hjelp i arbeidet med å oppøve sikker ferdighet.
 
I arbeidet med oppbygging av både forståelse og ferdighet i matematikk har språket en viktig funksjon. Språket hjelper til med å styre, strukturere og støtte tenkningen i læreprosessen. Elevene bør oppmuntres til å bruke språket aktivt, når de tenker, tegner og regner matematikk, både for seg selv og i samtale med andre. Kommunikasjon med medelever har en positiv innflytelse på arbeidet med problemløsninger og bidrar til oppklaring av begreper (Vygotskij 2001).
 
Interessen som forsvant.
Forbedring av matematikkunnskap dreier seg i hovedsak om økning av interesse for faget. Mange elever uttrykker at matematikk er kjedelig, og høyskoler og universitet etterlyser matematikkstudenter. Har skolen i sin iver etter å sørge for elevenes trivsel oversett elevenes behov for å yte og mestre? Har ikke elevene fått oppleve stoltheten av å mestre utfordrende matematikkoppgaver etter mye strev og utforskning? Eller har skolen «gjemt bort» matematikken i lekbetonte aktiviteter fra dagliglivet slik at selve matematikken er blitt usynlig?
 
Har skolen kanskje fokusert så mye på drill og ferdighetstrening at matematikken i hovedsak er blitt rutinepreget terping på regneprosedyrer uten krav til mentalt engasjement, kreativitet og utforskning?
 
Uansett, noe må forandres for å la elevene igjen få oppleve stolthet ved å mestre matematikkunnskap på det nivået som de fungerer, om det dreier seg om de fire regnearter eller annengrads ligninger. Matematikk er et fag det står respekt av og som kan by på utfordringer på alle plan og nivåer. Dyktige og kreative matematikklærere med erfaring vet trolig råd for uråd og er de første til å kunne bidra i en debatt om en snuoperasjon.
 
Referanser:
Anderson, J.R. 1995. Cognitive Psychology and its Implications. USA: W.H. Freeman and Comany
 
Ahlberg, A. (1999). Barn og matematikk. Problemløsning i 1.-3. Klasse. Oslo: Cappelen Akademisk Forlag AS.
 
Baddeley, A.D. (1999). Essentials of Human Memory. Hove (UK): Psychological Press.
 
Ellis, H.C. and Hunt, R.R. (1993). Fundamentals of Cognitive Psychology. Madison, Wisconsin: WCB Brown & Benchmark publishers.
 
Hughes, M. (1997). Children and Number. Difficulties in Learning Mathematics. Oxford, UK: Blackwell Publishers Ltd
 
Johnsen Høines, M. (2001). Begynneropplæringen. Fagdidaktikk for barnetrinnets matematikkundervisning. Bergen: Caspar Forlag AS.
 
Nunes, T. and Bryant, P. (1997). Learning and Teaching Mathematics: An International Perspective. UK: Psychology Press Ltd., Publishers.
 
Glasersfeld, E.von. 1996. Radical Constructivism. A Way of Knowing and Learning. London: The Falmer Press.
 
Steffe, L. P., Nesher, P., Cobb, P., Goldin, G.A., Greer, G. (1996). Theories of Mathematical Learning. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
Vygotskij L.S. (2001). Tenkning og tale. Oslo: Gyldendal Norsk Forlag AS.
 
Wood, D. (1995). How Children Think and Learn. The Social Contexts of Cognitive Development. MA, USA: Blackwell Publishers Ltd.