Geometri – Michael Gromovs lekegrind

Årets Abelpris-vinner Mikhail Gromov har gjort banebrytende arbeider innen geometri. Det er ikke lett for mennesker som lever i virkelighetens fysiske verden å følge hans vei inn i hans tankeverden. Hva er for eksempel avstanden mellom to punkter? Vi tenker til vanlig at det er bare å bruke ett eller annet redskap som måler lengde, så er den saken løst. Vi er da i skolegeometriens verden, og der finner vi regler som allerede den greske filosofen Euklid formulerte ca. 400 f.Kr. I vårt daglige liv er vi da i et "metrisk" rom som vi er dus med, og vi bruker en metrikk – et avstandsmål – og i vår del av verden er det meteren som til daglig er grunnenheten (det gjelder også i den vitenskapelige verden).

Utvidelse av avstandsbegrepet

La oss si at du er ei kone som er på en haug og mannen din arbeider på en annen haug et stykke unna. Hun roper at middagen er ferdig. Da er ikke avstanden i luftlinje den korteste veien for mannen når han vil hjem til middag.

Men la oss ta et mer spesielt eksempel på et metrisk rom som den danske professoren Vagn Lundsgaard Hansen refererte til da han i forbindelse med kunngjøringen av prisvinneren ga et lite innblikk i Gromovs matematiske univers.

Avstandsbegrepet videre til mer abstrakte matematiske rom. Lundsgaard nevnte en digital fargekode som er i bruk (RGB - som står for henholdsvis Red, Green, Blue). Her angis rødt som talltriplet [255,0,0], grønt som [0,255,0] og blått som [0,0,255]. Svart har koden [255,255,255]. I det matematiske "rommet" vi nå har laget, er et "rom" for alle farger, og her har vi 256x256x256=16.777.216 punkter, som representerer alle de fargene en kan få ved å kombinere de tre utgangsfargene (RGB) på alle mulige måter. Ved å lage en metrikk, et mål for "differansen" mellom to av fargene, kan en finne en metode for å beregne "avstanden" mellom to vilkårlige farger. (Dette systemet brukes særlig i elektroniske medier - se Wikipedia.)

Topologi

En topolog er en matematiker som studerer topologi (ei grein av matematikken). Det sies at vedkommende kan ikke se forskjell på en kaffekopp og en smultring. De har begge ett hull. Har du en smultring i plastilina, kan du ved en "glatt" omforming endre den til en kopp, og essensielt er det at hullet er blitt bevart.

Gromov har arbeidet med problemer innen topologi (topos = sted). La oss si at du skal måle det mer nøyaktige arealet av et landskap som er kupert. Arealet er da i virkeligheten større enn det vi kan måle ut fra det flate kartet. Sentralt i Gromovs arbeid med slike flater er bruk av begrepet kurvatur, krumning. Ved å anvende en bestemt definisjon (det fins flere) av krumning kan en knytte et bestemt tall til ethvert punkt i ei krum flate. I neste omgang lages en metrikk, et mål for avstanden mellom punktene. Det gir det muligheten for å beregne arealet av den aktuelle krumme flaten. Dette er en del av matematikken kalles differensialgeometri. Vår vanlige "skolegeometri" er en geometri der krumningen er null.

(For motorinteresserte kan vi nevne at slik slike flater som overflaten av smultringer (i matematikken kalt toruser) eller "kringler", med henholdsvis ett eller flere hull, går i matematisk norsk språkdrakt under fellesbetegnelsen mangfoldigheter. På engelsk kalles de "manifolds".

Se på eksosutløpet fra hver av sylindrene i motorrommet på en bensin- eller dieselbil. Legg merke til det glatte og forgreinede system av "glatte" rør som ender i ett eksosrør, og da er det lett å forstå hvorfor denne delen av eksossystemet på norsk kalles nettopp manifolden.)

Sagt om og av Gromov

• "Det er ufattelig hva Gromov kan få ut av trekantulikheten". (I sin mest trivielle form sier ulikheten at summen av lengdene av to sider i en trekant ikke kan være mindre enn lengden av den tredje siden.)
• For begrunnelsen for Kyotoprisen ble det sagt: "Gromov har studert egenskaper ved matematiske rom fra en helt ny og innovativ angrepsvinkel."
• Gromov: "De som leser mine arbeider har en tendens til å se på de hjelperesultatene som er brukt, og noen ganger også på det tekniske innholdet i bevisene, men det er sjelden de studerer papirene så nøye at de får tak i de bakenforliggende ideene.
• Abelkomiteen: "Gromov er alltid på jakt etter nye spørsmål og tenker hele tida på nye ideer som kan bidra til å løse de store problemene… Han er fremdeles i besittelse av en usedvanlig skaperkraft."

For de av dere som vil få et mer utførlig innblikk i Gromovs matematiske veden, kan se på nettsiden til Abelprisen: www.abelprisen.no