Etter- og videreutdanning av matematikklærere

Læreres undervisningskunnskap i matematikk står sentralt i arbeidet med å operasjonalisere departementets strategi for videreutdanning av lærere. "Kompetanse for kvalitet" handler om innhold!

Lærere på barnetrinnet er involvert i oppgaver og aktiviteter som fordrer ulike typer matematisk kunnskap. Matematikklærere skal kunne velge ut gode matematiske eksempler og oppgaver, analysere elevenes matematiske feil og misoppfatninger, stille matematiske spørsmål, svare på spørsmål relatert til matematikk, evaluere lærebøker i matematikk og så videre.

Ifølge Delaney (2008a) er det mange som ikke tenker på matematisk kunnskap når det er snakk om barnetrinnets lærere, og lærerne selv diskuterer i liten grad den matematiske kunnskapen de bruker i sitt arbeid. Kanskje dette handler om at vi i grunnen vet lite og ingenting om læreres matematiske kunnskap utover hvor mange studiepoeng eller vekttall den enkelte lærer har?

For oss som arbeider med lærerutdanning, og med etter- og videreutdanning av barnetrinnets matematikklærere, er lærernes kunnskap sentralt. For å kunne tilby god etter- og videreutdanning må vi kunne svare på følgende spørsmål: Hvilken kunnskap trenger lærere som underviser i matematikk i grunnskolens 1. til 7. trinn? Hva må da innholdet i vår fremtidige etter- og videreutdanning være? 

I sin nye strategi for videreutdanning av lærere, ”Kompetanse for kvalitet” (KD, 2008), understreker Kunnskapsdepartementet at lærere med høy faglig og pedagogisk kompetanse er en viktig forutsetning for elevenes læring. Begrunnelsen for dette er at høy faglig og pedagogisk kompetanse hos lærerne bidrar til gode elevresultater. Kunnskapsdepartementet vil iverksette et varig system for videreutdanning for det pedagogiske personalet.

Denne videreutdanningen skal i første rekke målrettes mot fagområder og emner som det er særlig behov for å styrke på nasjonal basis. Matematikk er ett av disse fagområdene. Det varige systemet vil ifølge strategien bidra til bedre muligheter for videreutdanning for lærerne, gi høyere kvalitet i opplæringen og gi profesjonelle lærere bedre omdømme og høyere status i samfunnet.

Videreutdanningen skal ha et omfang på inntil 60 studiepoeng i det enkelte fag eller område. Dette betyr at landets lærerutdanninger har en stor jobb å gjøre med å utvikle videreutdanningsstudier for lærere, selv om det er ungdomstrinnets lærere som skal prioriteres i første omgang. Én ting er å forutsette et omfang på 60 studiepoeng, men det neste spørsmålet blir da:

Hva skal det matematiske og matematikkdidaktiske innholdet i videreutdanningstilbudet være? Dette sier strategien fra Kunnskapsdepartementet lite om. Likevel understrekes det at videreutdanning som regel gir størst effekt på elevenes læring når den er knyttet til lærernes daglige virke. Tilbudene skal derfor være praksisrettet ved at deltakernes egen yrkespraksis i størst mulig grad skal knyttes til og brukes som utprøvingsarena og refleksjonsgrunnlag for videreutdanningen.

Dette stiller ifølge strategien krav om fleksible og praksisnære utdanningsopplegg fra lærerutdanningene. Videreutdanningene skal altså være praksisnære, men selve innholdet sies det likevel ingenting om.
^
Strategien fordrer altså et kompetanseløft for lærerne, men for at et slikt løft skal finne sted, må vi svare på minst to spørsmål: Hvilken kunnskap skal lærerne få, og hvorfor akkurat denne kunnskapen? Hvilken kunnskap har de som deltar på etterutdanning fra før? Dette er noen av de spørsmålene vi arbeider med i et forskningsprosjekt knyttet til lærerutdanningen ved Universitetet i Stavanger. I det følgende skal vi si litt mer om dette (se Fauskanger & Mosvold, 2008a; Fauskanger & Mosvold, 2008b).

Kompetansekartlegging
Den matematiske kompetansen til lærerne er spesialisert og relatert til den undervisningsjobben de gjør. Denne typen matematisk kunnskap er forskjellig fra andre former for matematisk kunnskap. For å kunne hjelpe lærerutdannere og lærere i den prosessen som den nye strategien nå ønsker å initiere, trenger vi å lære mer om den matematiske kunnskapen som lærerne anvender i undervisningen.

Hva sier så forskningen om dette? Hvilken kompetanse har matematikklærerne til de elevene som får best resultater? Flere studier viser at lærernes kunnskaper i matematikk har en positiv innflytelse på elevenes læringsutbytte, men det foreligger lite informasjon om hva som er innholdet i denne kunnskapen. Dreier det seg om basisferdigheter på det nivået en underviser, eller dreier det seg om mer sammensatt matematisk kunnskap (Ball, Hill, & Bass, 2005; Hill, Ball & Shilling, 2008)?

Forskning viser at det er viktig å vite hvem som deltar i egen etter- og videreutdanning, og noe av det vi da trenger å vite, er hvilken kompetanse de har. Det er viktig å identifisere hva lærere kan mye om og hva de kan lite om, slik at en kan bruke tiden på det lærerne trenger (Ball & Bass, 2003). Som lærerutdanner har en altså behov for å vite mer om hvem som deltar i egen etter- og videreutdanning.

Internasjonale studier fra de siste 15 årene viser at lærere kan for lite matematikk og at elevene følgelig lærer for lite (Ball, Hill & Bass, 2005; Ma, 1999). I en analyse av 700 første- og tredjetrinnslærere (og nesten 3000 elever) fant forskerne ut at lærernes kunnskaper ga signifikante utslag på elevenes kunnskaper (Hill, Rowan, & Ball, 2005). Elever som hadde lærere med gode kunnskaper, lærte mer i løpet av et år enn elever som hadde lærere med dårligere kunnskaper. Når elevene begynner på skolen, viser det seg at læreren har større innflytelse på elevenes akademiske vekst enn noen annen faktor (Sanders & Horn, 1994).

Tidligere trodde en at dersom lærerne bare kunne nok matematikk, så ville undervisningen bli god, og følgelig ville elevene få et godt læringsutbytte av undervisningen. Både lærerutdanningen og etter- og videreutdanningen av lærere ble da rene matematikkurs. I Norge trodde en lenge at en kunne bli en god matematikklærer også uten at matematikk var en del av lærerutdanningen. Ved lærerutdanningen i Stavanger hadde eksempelvis studentene på 70-tallet matematikk én time i uken, og dette hadde de kun det første året av sin 2-årige lærerutdanning.

Resultatet var at vi kunne få lærere i grunnskolen som bare hadde grunnkurs i matematikk fra videregående skole – ikke nødvendigvis med gode karakterer – og bare en begrenset fagdidaktisk innføring fra lærerskolen. Disse lærerne kunne likevel undervise i matematikk fra 1. – 9. klasse (Haaland & Reikerås, 2005). Først i 1992 ble matematikk obligatorisk med 5 vekttall (15 studiepoeng), og i 1998 ble matematikkdelen i lærerutdanningen utvidet til 10 vekttall (30 studiepoeng).

Mer enn ren fagkunnskap
Gjennom studier av blant annet Shulman (1986), ble lærerutdannere gjort oppmerksom på at effektiv undervisning handler om mye mer enn at læreren som underviser er matematisk kompetent. Hans studier viste at lærere kan sitt fag på en annen måte enn fagfolk som ikke underviser. Han var opptatt av hvordan lærere omformer sin kunnskap til en form som gjør det mulig for elevene å gripe fagstoffet, og påpekte at lærerens matematiske kunnskap alene ikke automatisk gir bedre undervisning.

Shulman understreket at lærere måtte kunne sitt fag, både fakta og begreper innenfor et område, men også hvorfor faktaene og begrepene er sanne, og hvordan kunnskap innenfor området er generert og strukturert. Men, utover ren fagkunnskap, mente Shulman at læreren måtte ha kunnskap om undervisning i et fag og om hvordan emner er organisert, både innenfor et skoleår og i et lengre tidsperspektiv. Shulman kalte denne kunnskapen pedagogical content knowledge (PCK), som på norsk blant annet er oversatt med fagrelatert didaktisk kunnskap (Slåtten, 1998). Fagrelatert didaktisk kunnskap betyr i praksis at læreren må finne frem til eksempler og forklaringer som kan hjelpe elevene når de skal tilegne seg et fagstoff.

Lærere må ha evnen til å forstå sentrale forhold rundt matematikkundervisning og på den måten legge til rette for at elever lærer matematikk ut egne forutsetninger.

Etter- og videreutdanning har variert fra rene matematiske kurs til rene didaktiske eller metodiske. Etter innføringen av L97 ble det mye fokus på det didaktiske i etterspørsler fra kommuner og skoler. Men argumentene for at også det matematiske må få plass – og stor plass – er mange. Denne argumentasjonen støttes av forskere som Ball, Hill og Bass (2005) som bygger på Shulmans teorier, og som har forsøkt å identifisere og spesifisere den matematiske kunnskapen de mener er nødvendig for en lærer, det de kaller mathematical knowledge for teaching (MKT).

En slik kunnskap består av en type matematisk kunnskap som alle velutdannede voksne burde ha, og en type kunnskap som er mer spesialisert og rettet mot dem som skal undervise i matematikk (Hill, Ball & Shilling, 2008). MKT er altså matematisk kunnskap som er nødvendig for å gjøre en undervisningsjobb. Ball understreker at en matematikklærer må ha en dybdeforståelse for det matematikkfaglige emnet hun skal undervise i.

Hennes forskningsteam har funnet at elevene til lærere som har MKT, det vil si lærere som har mange riktige svar på testene forskningsteamet har utviklet, lærer mer matematikk gjennom et år med matematikkundervisning enn elever til lærere som har mindre kompetanse på dette området.
Ball sitt forskningsteam har funnet at matematisk kunnskap også er av avgjørende betydning for lærere som arbeider med de yngste elevene. I studier fant de at lærernes MKT hadde sammenheng med elevenes resultater i matematikk helt ned i 1. og 3. trinn. Dette indikerer at lærernes kunnskap har betydning også ned i de laveste trinnene.

Cooney, Shealy og Arvold (1998) dokumenterer at lærere mangler forståelse for skolens matematikk, selv om de har gode karakterer fra sin utdanning i matematikk på universitetsnivå. Vi må derfor ikke ta for gitt at studenter og lærere med god formalkompetanse i matematikk har den forståelsen som er nødvendig for å undervise i matematikk. Konklusjonen blir at etter- og videreutdanning må ha fokus på matematisk kunnskap, men ikke hvilken som helst matematisk kunnskap. Den matematiske kunnskapen som er nødvendig for å undervise i et bestemt emne på et bestemt trinn, eller det Ball kaller MKT, blir viktig. Det er kanskje dette

Kunnskapsdepartementet mener når det i den nye strategien understrekes at videreutdanningen må være praksisnær?

Etterutdanning
Den nye strategien vektlegger et kompetanseløft for lærere. Begrunnelsen er at elevene da vil få bedre matematikkundervisning og følgelig lære mer matematikk. For å muliggjøre en slik forbedring av matematikkundervisningen, er det nødvendig å ha lærernes kunnskaper i fokus, både knyttet til matematikkfaget og undervisningen av det. Det er en utfordring å finne frem til elementer ved etter- og videreutdanningens innhold som kan støtte deltakerne i sin profesjonelle utvikling som matematikklærere.

En analyse av tidligere forskningsresultater som over gir oss viktige innspill. Det er nødvendig å vite hvilke kunnskaper de som deltar i etterutdanning har. Når en vet hvilke kunnskaper de har, kan legge vekt på det den enkelte trenger og ha MKT i fokus. Som lærerutdanner må en altså fokusere på matematisk kunnskap som er nødvendig for å gjøre en undervisningsjobb.

Det blir derfor viktig å finne ut mer om læreres kunnskaper. Dette har et forskningsteam ved University of Michigan tatt på alvor. De har utviklet multiple choice-oppgaver som de mener måler lærernes MKT. Vi arbeider nå med å oversette og se om disse oppgavene, som et utviklet med utgangspunkt i matematikkundervisning i USA, kan tilpasses norske forhold.
Oppgavene er satt sammen til en spørreundersøkelse som måler lærernes kunnskaper. Undersøkelsen blir blant annet brukt i forkant av et etter- eller videreutdanningsforløp slik at forløpet bedre skal tilpasses den enkelte lærer.

Forskningen viser at lærere som i stor grad svarer riktig på oppgaver av denne typen – lærere med høy MKT – har bedre resultater blant sine elever. Derfor kan vi argumentere for er dette et viktig område å jobbe videre med, også tilknyttet den norske konteksten. Undersøkelser knyttet til disse oppgavene er fulgt opp med case-studier som viser at kvaliteten på undervisningen til lærere med høy MKT er bedre enn undervisningen til lærere med lav MKT.

Ikke bare gjør lærere med høy MKT færre matematiske feil, men de klarer også å utnytte kunnskapen sin til å gi elevene bedre og mer nøyaktige forklaringer og begrunnelser. I tillegg analyserer de elevenes matematiske ideer på en bedre måte, bruker et matematisk presist språk og velger og planlegger oppgaver og aktiviteter ut fra et matematisk perspektiv. Lærere med høy MKT har rett og slett et større fokus på matematikk i sin undervisning.

I Irland har en forsøkt å tilpasse disse oppgavene til en irsk kontekst og gjennomført en nasjonal undersøkelse av lærernes MKT (Delaney, 2008b). Her har de funnet ut hvilke styrker og svakheter irske lærere har i sine matematikk-kunnskaper (Delaney, 2008a). Vi trenger informasjon om norske lærere når vi skal utvikle vår fremtidige etter- og videreutdanning, og da kan undersøkelser som inkluderer oppgaver som de presentert ovenfor være en vei å gå.

For å avrunde vil vi se tilbake på de to spørsmålene vi stilte innledningsvis. Det første var: Hvilken kunnskap trenger lærere som underviser i matematikk i 1. – 7. trinn i grunnskolen? Svaret på dette spørsmålet kan ikke kun gis som et gitt antall studiepoeng som i Kunnskapsdepartementets nye strategi for videreutdanning. Innholdet er minst like viktig som antall studiepoeng. Så det vi må arbeide med videre er vårt innledende spørsmål nummer to: Hva må da innholdet i vår fremtidige etter- og videreutdanning være? Svaret her er MKT. Utfordringen blir først av alt å bli kjent med lærernes MKT, for å vite hva som er behovet blant akkurat de lærerne en til enhver tid arbeider sammen med tilknyttet etter- og videreutdanning.

Referanser
Ball, D.L., & Bass, H. (2003). Toward a practice-based theory of mathematical knowledge for teaching. I B. Davis & E. Simmt (red.), Proceedings of the 2002 Annual Meeting of the Canadian Mathematics Education Study Group, (s. 3-14). Edmonton, AB: CMESG/GCEDM.

Ball, D. L., Hill, H. C., & Bass, H. (2005). Knowing Mathematics for Teaching. Who Knows Mathematics Well Enough To Teach third Grade, and How Can We Decide? American Educator (Fall 2005), 14-17+20-22+43-46.

Cooney, T., Shealy, B., & Arvold, B. (1998). Conceptualizing belief structures of preservice secondary mathematics teachers. Journal of Research in Mathematics Education, 29(3), 306-333.

Delaney, S. (2008a). Unacknowledged expertise. Irish teachers’ mathematical knowledge for teaching. InTouch, 97, 41-45.

Delaney, S. (2008b). Adapting and using U.S. measures to study Irish teachers' mathematical knowledge for teaching. Upublisert Doktoravhandling.

Fauskanger, J., & Mosvold, R. (2008a). Teachers' beliefs and knowledge about the place value system. Publisert online på http://www.dpu.dk/site.aspx?p=11694

Fauskanger, J., & Mosvold, R. (2008b). Kunnskaper og oppfatninger – implikasjoner for etterutdanning. Norsk Pedagogisk Tidsskrift, 3, 187-197.

Hill, H., Ball, D. L., & Schilling, S. (2008). Unpacking “pedagogical content knowledge”: Conceptualizing and measuring teachers’ topic-specific knowledge of students. Journal for Research in Mathematics Education, 39 (4), 372-400.

Hill, H. C., Rowan, B., & Ball, D. L. (2005). Effects of teachers' Mathematical Knowledge for Teaching on Student Achievement. American Educational Research Journal, 42(2), 371-406.

Haaland, I., & Reikerås, E. (2005). Matematikkfaget ved lærerutdanningen i Stavanger. I M. Lea (red.), Vekst og utvikling. Lærarutdanninga i Stavanger 50 år (s. 55-65). Stavanger: Universitetet i Stavanger.

KD (2008). Kompetanse for kvalitet: Strategi for videreutdanning av lærere. Oslo: Kunnskapsdepartementet.

Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers' understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates.

Sanders, W., & Horn, S. P. (1994). The Tennessee value-added assessment system (TVAAS): Mixed-moded methodology in educational assessment. Journal of Personnel Evaluation in Education, 8, 299-311.

Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher (15), 4-14.

Slåtten, K. (1998). Fagrelatert didaktisk kunnskap. Perspektiver på begrepet ”pedagogical content knowledge”. Nordisk Pedagogik 18(3), 163-173.